Коэффициент размножения нейтронов

Коэффициент размножения нейтронов — отношение числа нейтронов последующего поколения к числу нейтронов в предшествующем поколении во всём объеме размножающей нейтронной среды (активной зоны ядерного реактора). Коэффициент размножения нейтронов для тепловых реакторов в бесконечной среде может быть найден с помощью формулы четырёх сомножителей:

[math]\displaystyle{ k_0=\mu \phi \theta \eta }[/math], где

[math]\displaystyle{ \mu }[/math] — коэффициент размножения на быстрых нейтронах;
[math]\displaystyle{ \phi }[/math] — вероятность избежать резонансного захвата;
[math]\displaystyle{ \theta }[/math] — коэффициент использования тепловых нейтронов;
[math]\displaystyle{ \eta }[/math] — выход нейтронов на одно поглощение.

Эффективный коэффициент размножения нейтронов [math]\displaystyle{ k }[/math] для активной зоны конечных размеров:

[math]\displaystyle{ k = k_0w }[/math], где [math]\displaystyle{ w }[/math] — доля нейтронов, поглощённых в активной зоне реактора, от полного числа образующихся в реакторе (или вероятность для нейтрона избежать утечки из конечного объёма активной зоны).

Общие сведения

В основе работы реактора лежит размножение частиц — нейтронов. Величина коэффициента размножения показывает, как изменяется полное число нейтронов в объёме активной зоны за время среднего цикла обращения нейтрона.

Каждый нейтрон, участвующий в цепной реакции, проходит несколько этапов: рождение в реакции деления, свободное состояние, и далее — либо потеря, либо вызов нового деления и рождения новых нейтронов.

Критическое состояние реактора характеризуется значением [math]\displaystyle{ k=1 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ k\lt 1 }[/math], то состояние делящегося вещества считается подкритическим, а цепная реакция быстро затухает. В случае, если в начале процесса свободных нейтронов не было, цепная реакция не может возникнуть вообще. Состояние вещества при [math]\displaystyle{ k\gt 1 }[/math] называется надкритическим, а цепная реакция быстро нарастает. Нарастание продолжается, пока по каким-либо причинам [math]\displaystyle{ k }[/math] не уменьшится до 1 или ниже.

В реальных веществах тяжелые ядра могут делиться самопроизвольно, поэтому небольшое количество свободных нейтронов есть всегда, и короткие цепные реакции протекают в делящемся веществе постоянно. Также такие реакции могут быть запущены частицами, приходящими из космоса. По этой причине, как только [math]\displaystyle{ k }[/math] превышает единицу — например, достигается необходимая критическая масса — процесс лавинообразного развития цепной реакции запускается немедленно.

Ядерный реактор

Основная статья: Ядерный реактор

Контролируемая реакция цепного деления ядер используется в ядерных реакторах. В процессе работы реактора делящееся вещество поддерживается в критическом состоянии с помощью введения в активную зону дополнительного количества делящегося вещества, либо увеличения объема веществ, поглощающих нейтроны. Часть реактора, в которой происходит процесс выделения энергии от цепных реакций деления ядер, называется активной зоной.

Развитие цепной реакции деления во времени

Изменение числа нейтронов в некритическом реакторе можно найти по формуле:

[math]\displaystyle{ {{dn} \over {dt}} = {{n(k-1)} \over {\tau}} }[/math] (2)

где [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — время нейтронного цикла.

То есть, если в какой-то момент времени в реакторе есть [math]\displaystyle{ n }[/math] нейтронов, то через время [math]\displaystyle{ \tau }[/math] их количество будет равно [math]\displaystyle{ kn }[/math], а разница составит [math]\displaystyle{ (kn-n)=n(k-1) }[/math].Решение уравнения (2) даёт зависимость числа нейтронов от времени:

[math]\displaystyle{ n(t)=n_0\exp{\left({{k-1} \over {\tau}}\,t \right)} }[/math] (3)

где [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] — число нейтронов в момент [math]\displaystyle{ t=0 }[/math].

В реакторе

Для реакторов на тепловых нейтронах время нейтронного цикла достигает [math]\displaystyle{ \tau = 10^{-3} }[/math] секунд. Если принять [math]\displaystyle{ k = 1{,}01 }[/math], то всего через секунду количество нейтронов возрастёт в [math]\displaystyle{ {{n(1)} \over {n_0}}={\exp{{0{,}01} \over {0,001}}} = e^{10} \approx 20000 }[/math] раз, как и выделение энергии в реакторе. Для реальных реакторов эта оценка является несколько завышенной, так как не учитывает запаздывание нейтронов.

При взрыве

Для чистых делящихся веществ время нейтронного цикла имеет порядок [math]\displaystyle{ 10^{-8} }[/math] секунд. При [math]\displaystyle{ k = 1{,}1 }[/math] количество нейтронов за это время увеличивается в [math]\displaystyle{ 10^{26} }[/math] раз. Например, в случае урана при данном [math]\displaystyle{ k }[/math] через 6 микросекунд после начала реакции делению подвергнется примерно 40 кг вещества, а за 6 миллисекунд это число составит уже 400 кг. Такое быстрое нарастание деления будет сопровождаться огромным выбросом энергии, что приведёт к ядерному взрыву. Энергия, выделяющаяся при делении 1 кг урана, равна энергии, получаемой при взрыве 20 000 тонн тринитротолуола.

Нейтронный цикл и вывод формулы четырёх сомножителей

Рассмотрим циклический процесс увеличения числа нейтронов в реакторе, работающем на топливе из ²³⁵U и ²³⁸U.

Допустим, некоторое количество тепловых нейтронов в активной зоне вызвали деление ядер ²³⁵U, в результате чего появилось [math]\displaystyle{ n }[/math] быстрых нейтронов текущего поколения. Быстрые нейтроны, в отличие от тепловых, чрезвычайно редко взаимодействуют с ядрами ²³⁵U, но часто приводят к делению ядер ²³⁸U, приводя к возникновению ещё большего количества быстрых нейтронов. Фактор, показывающий, во сколько раз число нейтронов, полученных при делении ядер ²³⁵U, увеличивается за счёт деления ядер ²³⁸U, называется коэффициентом размножения на быстрых нейтронах [math]\displaystyle{ \mu }[/math]. С учётом этого, число быстрых нейтронов становится равным [math]\displaystyle{ n \mu }[/math].

Быстрые нейтроны теряют энергию в замедлителях реактора. Нейтрон во время этого процесса может быть поглощён ядром атома какого-либо вещества, не вызвав деления этого ядра. Количественно этот эффект характеризуется вероятностью избежания резонансного захвата [math]\displaystyle{ \phi }[/math]. Обычно резонансный захват происходит на веществах, отличных от основного делящегося элемента, поэтому наличие таких веществ в активной зоне стараются свести к минимуму. Вещества, обладающие заметным резонансным захватом, нарабатываются и прямо в процессе работы реактора — например, ²³⁹Pu и ²⁴⁰Pu.

Нейтроны, избежавшие резонансного захвата, после потери энергии в замедлителях становятся тепловыми; их количество равно [math]\displaystyle{ n \mu \phi }[/math]. Часть нейтронов захватывается веществами-поглотителями нейтронов, с помощью которых осуществляется управление реактором. Оставшаяся часть участвует в делении ядер ²³⁵U. Доля тепловых нейтронов, участвующих в делении, называется коэффициентом использования тепловых нейтронов [math]\displaystyle{ \theta }[/math]. На каждый тепловой нейтрон, «затраченный» на запуск деления ядра, выделяется в среднем [math]\displaystyle{ \eta }[/math] быстрых нейтронов уже следующего поколения — таким образом, цикл на этом замыкается, и общее количество нейтронов следующего поколения можно найти как произведение [math]\displaystyle{ n \mu \phi \theta \eta }[/math].

Таким образом, по определению коэффициента размножения нейтронов, его значение [math]\displaystyle{ k_0 }[/math] равно:

[math]\displaystyle{ k_0={n \mu \phi \theta \eta \over n}=\mu \phi \theta \eta }[/math].

Литература

Климов А. Н. Ядерная физика и ядерные реакторы. М. Атомиздат, 1971.
Левин В. Е. Ядерная физика и ядерные реакторы. 4-е изд. — М.: Атомиздат, 1979.
Петунин В. П. Теплоэнергетика ядерных установок М.: Атомиздат, 1960.

См. также